空间统计基础

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Abstract

描述性统计和正态分布，大部分是高中数学的内容。

1. 描述性统计

Note

需要进行统计分析的数据的一个关键特点是，它经常被视为是来自大容量总体的样本。

描述性统计(描述性统计分析)是指使用一些特定的方法来描述或总结样本特征；而推理性统计是指从样本推总体的方法。

描述性统计属于探索性技术范畴，而推理统计属于验证性技术范畴。

1.1 描述性统计量

• 平均值(Mean)

• 中位数(Median)

• 众数(Mode)

• 极差(Range)

• 四分位距(Interquartile Range)

  第25百分位数与第75百分位数之间的差。

• 方差$\sigma ^2$与标准差$\sigma$ (Varience & Standard Variance)

  除以n

• 样本方差$S^2$与样本标准差$S$ (Sample Varience & Sample Standard Variance)

  除以n-1

• z分数(z-score)

  对可能来自不同方差和平均值的样本进行归一化。公式如下：

$$ z = \frac{X_i-\bar X}{S} $$

• 偏度(Skewness)

  用来度量随机变量概率分布的不对称性, 定义上是样本的三阶标准化矩, 公式如下： $$ Skewness = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{\frac{(X_i-\mu)^3}{S^3}} $$

  偏度分析

  Skewness>0，为正偏(右偏)，分布的尾部延伸到正方向，即分布的右侧尾部比左侧更长。

  Skewness=0，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。

  Skewness<0，为负偏(左偏)，表示分布的尾部延伸到负方向，即分布的左侧尾部比右侧更长。

• 峰度(Kurtosis)

  表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。直观看来，峰度反映了峰部的尖度(概率分布的陡峭程度)。峰度的计算公式如下： $$ kurtosis = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^4}{nS^4} - 3 $$

  峰度分析

  完全服从正态分布的数据的峰度值为0。
  峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。

Reference

Statistical measures and related formulas

2. 正态分布

2.1 三个性质

• 均值、中位数、众数相等；

• 关于均值完全对称；

• 尾部渐进（靠近水平轴但不接触）

2.2 3$\sigma$原则

标准正态分布下:

• -1 ~ 1, 68.26%

• -2 ~ 2, 95.44%

• -3 ~ 3, 99.74%

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最后更新: 2024年5月9日 15:08:30
创建日期: 2024年3月10日 16:11:48